摘要: 微积分课程是高等院校学生的一门重要的基础课程,在微积分教学中培养学生的思维品质是微积分课程教学的重要任务。本文探讨微积分概念、例习题教学中学生思维品质培养的方法。
关键词: 微积分 教学  学生  思维  培养
微积分课程是高等院校学生的一门重要的基础课程, 微积分课程教学所提供的数学思想、数学方法、理论知识不仅是学生学习后继课程的重要数学工具和基础,更是他们将来从事科学研究或实际工作所必需的知识储备，而且是培养学生具有一定的思维能力的重要载体。而思维品质是思维能力的表现形式，这就要求我们教师在微积分教学中应根据具体的教学内容，充分挖掘教材潜力，在概念、例习题教学中培养学生的思维品质。
一、引导学生辨析易混淆的概念，培养思维的严谨性
在教学微积分概念时, 如果只停留在表面上, 学生理解是不会深刻的。若能将相关的概念进行比较, 分析其内在的各种特征, 从中体会概念之间的区别和联系, 找出概念的本质属性, 这样可以防止知识泛化和混淆, 提高认识能力，同时可培养思维的严谨性。
比如在导数一章里, 函数 的导函数 与函数 在点 处的导数 是学生容易混淆的两个概念。教学中可让学生比较它们的异同，明确 是 的函数,而 是一个数值；且函数  在点 处的导数 就是导函数 在点 处的函数值。
又如学生常对微分和导数两个概念分辨不清，教学中可让学生分析它们的联系与区别，微分和导数是两个不同的概念: 导数刻划了函数的瞬时变化率,而微分是函数改变量的线性主要部分，导数的几何意义是曲线 的的切线斜率。而微分的几何意义是切线段的增量，虽然微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。经过比较使学生分清了这两个概念的差异, 提高了判断能力, 也培养了学生思维的严谨性。
二、引导学生一题多解，培养思维的广阔性
在教学中, 教师可有意识地选择某一问题, 引导学生仔细观察各种结构特征, 并与熟悉的题型、方法进行比较, 探索问题的各种解法, 不仅能拓宽思路，增强知识间联系，而且能使学生学会多角度思考问题的的方法，也培养了学生思维的广阔性。
例1：求不定积分：
解法一：加项减项：

解法二：倒代换：
令 则

解法三：变量代换：
令 则

解法四：凑微分：

解法五：同乘除因子：

解法六：同乘除因子：

由于教师的精心设计, 虽然学生练的是一道题, 但通过一题多解，培养了学生学习的兴趣，积极性和主动性，可使学生从多角度多方位去探索同一问题，寻找新颖的解证方法,这样不仅开阔了解证的思路，而且沟通了知识方法间的联系, 也培养了学生思维的广阔性。
三、引导学生对问题进行拓展、引伸，培养思维的深刻性
教学中，在某个问题得以解决的基础上，通过拓展、引伸，启发引导学生进行联想，探究问题的内在联系及区别，由特殊到一般不断深入，激发学生解决问题的欲望及兴趣，加深对知识的理解，培养学生思维的深刻性。
例2：求积分
分析：运用积分公式，可以求得问题的解。
解：
在此基础上进行拓展、引伸，引导学生在求解下列积分的过程中，探究其内在联系及区别，激发学生解决问题的欲望及兴趣。
（1）     （2）      （3）   
解：（1）
（2）

对于积分 ，设 有 ，
， 于是有：

=
= ,

（3）
=

经过对一个问题的拓展引伸，使学生明白了这些问题的本质和差异, 提高了辨别能力, 也培养了学生思维的深刻性。
四、引导学生进行类比、归纳，培养思维的灵活性
由于许多数学问题, 解题方法或技巧有着相似性, 因此教师可在教学中有目的、有意识地设计同类型的题组,引导学生对所求解问题进行类比、归纳，运用比较的方法进行分析、思考,总结出解决同类问题的思维方法与解题规律，不但能收到举一反三, 触类旁通之效, 而且能培养学生思维的灵活性。
例3:求下列极限: (1)      (2) =
分析：含有根式的数学问题，是学生解题的难点，例题教学中，应引导学生对此类问题进行类比、归纳，总结其解题规律性。实际上，求解此类含有根式问题的关键是设立和运用有理化因式，化无理因式为有理因式，简化问题难度，从而使之迎刃而解。
解：(1)

 (2) =     
    
例4：求下列近似值：
（1）          （2）              （3）
分析：含有根式的近似值的计算，是学生解题的难点，例题教学中，应引导学生对此类问题的解题规律进行总结。实际上，求解此类含有根式的近似值问题的关键是把根式化为 ，然后利用近似公式 （当 ，从而使之迎刃而解。
解：(1)
（2）
（3）
通过对不同问题的同一种思维方法的多次使用，可使学生加深对这一思维方法的理解和掌握，还可培养学生类比、归纳、总结的能力以及思维的灵活性。
五、引导学生进行错解剖析，培养思维的批判性
教学中教师可有意识地给出一些常见问题的错解，让学生判断、识别真伪, 引导学生进行矫正,不仅可以增强学生对所学知识更深层次的理解，而且可以提高辨别是非能力, 同时培养思维的批评性。
例5：求极限
错解：
分析：这是学生容易犯的解题错误，究其原因是滥用了无穷小代换法则。因为无穷小代换法则的运用是有条件的，只能在积商运算中应用。而在此题中函数的分子是加减运算，不能直接运用法则解题.实际上，此题中的 之所以不能用 代替，是因为 与 并不是等价无穷小。
正解:
例6：求
错解：
分析：这也是学生容易犯的解题错误，究其原因是采用了 ，而忽略了 是算术根，正确的是 。
正解:

， 极限 不存在。
以上两例通过辨析, 不仅巩固了知识, 提高了辨误能力, 同时思维的批评性也得到了培养。
总之，在微积分教学中，只要教师有意识地根据具体的教学内容，充分挖掘教材潜力，重视思维品质的培养，才能使学生在学好微积分知识的同时，思维品质也得到全面提升。
参考文献：
[1] 萧树铁主编，大学数学 微积分(一)，北京：高等教育出版社, 2003年4月
[2] 刘玉琏主编，数学分析讲义（上册），北京：高等教育出版社，2003年7月
[3] 马忠林主编，任樟辉著，数学思维论，南宁：广西教育出版社，1996年12月
附：作者简介：