人类最早认识的数就是自然数，在理论上研究数的概念，首先需要建立关于自然数的理论。 　　自然数有两种不同的理论——基数理论和序数理论。 　　一、自然数的基数理论 　　自然数的基数理论是以“集合”作为基数概念，在此基础上建立起来的，自然数的概念和等价集合有密切联系，由于两个等价的集合之间的元素可以建立“一一对应”的关系，人们利用这个基本性质，把所考察的一切集合划分成类，把彼此等价的集合归成一类。例如人体上眼睛的集合、耳朵的集合、手的集合和足的集合等。这些同类 集合里，有一个共同的特征，用通俗的话来讲，就是这些集合中物体的个数是相同的，我们把标记同类集合（等价集合）的这种共同的特征，叫做这类集合的基数。 　　定义  有限集（非空的）的基数称为自然数。 　　由定义可知，每一个自然数实际上是一类有限等价集合的标记，它表示了这一类等价集合中元素的个数。 　　了解了自然数的意义以后，就不难用集合的知识来定义自然数集合中元素间的大小关系和加法运算与乘法运算。 　　定义 设有限集合A和B的基数分别是自然数a和b，当 （1） A和B等价时，则说自然数a等于b，记作a=b; （2） A和B的一个真子集等价时，则说自然数a小于b，记作a<b； （3） A的一个真子集与B等价时，则说自然数a大于b，记作a>b； 人类开始进行加法运算时，总是把被加的两个事物的集合放在一起来计算总数的多少，这就引出自然数基本运算的概念。用集合的观点来定义就是：      定义  设两个不具有公共元素的有限集合A和B的基数分别是a和b，如果C=AB,就称集合C的基数c为a与b的和，记作a+b=c，a叫做被加数，b叫做加数，求两数和的运算叫做加法。 　  在这个基础上，可以给出自然数乘法的定义。     定义  设b个等价集合A1,A2,…Ab(两两间不具有公共元素)的基数都是a，由这b个集合构成并集    A1A2……Ab=C 就称集合C的基数c为a与b的积，记作a×b=c(或记作a?b=c),a叫做被乘数，b叫做乘数，求两数乘积的运算叫做乘法。     我们可以按照自然数的减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算来规定自然数的减法和除法的定义，并且还可以用上面的定义和集合论的知识论证在自然数集合里，两个自然数的和、差、积、与商都是唯一存在的，进一步还可以论证自然数的加法、乘法的基本运算律和自然数的次序之间的顺序律成立： 　　加法的交换律： a+b=b+a 　　加法的结合律： （a+b）+c=a+(b+c) 　　乘法的交换律： ab=b 　　乘法的结合律：(ab)c=a(bc) 　　乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 　　次序的全序性：对于两个自然数a和b，下面三种关系必有一种且仅有一种成立： 　　A=b , a>b, a<b; 　　相等的反射性：a=a 　　相等的对称性：a=b 　　相等的传递性：a=b ,b=c 　　不等的传递性：a>b ,b>c 　　以上定义了自然数、自然数的大小比较以及自然数的四则运算，如果再逐一的论证自然数的运算律和顺序律的话，自然数的基数理论就建立起来了。 　　从基数理论建立过程看，它的优点在于把理论较直接的建立在经验的基础上，从而易于理解，但这一理论也有其缺点。我们知道，自然数具有双重的意义，一方面表示数量的意义，即回答“多少个”的问题，而另一方面是表示次序上的意义，即回答“第几个”的问题，基数理论仅仅反映了“多少个”的问题，对于“第几个”的问题就得不到明显的回答。事实上，无论在理论上或实际上，自然数的次序上的意义都是十分重要的。正因为这样，以自然数的次序上的意义为出发点，就建立起另一种自然数理论，就是序数理论。 　　二、自然数的序数理论 　　这种理论完全采用公理化的方法，它以一个基本关系“后继”与四条公理为基础，并且还使用“对应”这一不定义的概念，由此出发运用形式逻辑的方法来给出其它有关概念的定义，确立各种命题。 　　定义 任何一个非空集合N的元素叫做自然数，如果在这个集合里的某些元素之间有一基本关系“后继”满足下面的公理： 一、 存在着数“1”它不后继于任何数 二、 对任何一个数a，存在着一个且仅存在着一个后继数a′ 三、 除1以外，任何数只能是一个数的后继数 四、 （归纳公理）设N有一个子集M，满足条件： （1）1∈M （2）若a∈M，有a′∈M 则  M=N      在这个基础上，应用公理的方法来定义自然数的加法、乘法两种运算，由此给出加数、和、被